Asimismo, procuramos una visión más amplia con algunos artículos que recomendamos, no como bibliografía obligatoria, pero sí de ampliación.
Estos textos están dirigidos a quienes tienen interés en algún tema que no se desarrolla exhaustivamente, que se menciona en clase, o bien, que no constituye parte - explícita, claro- de nuestro programa.
1- El origen de la escritura
2- El número de oro y la proporción áurea (phi): orden, ritmo, simetría...Bien, Verdad y Belleza.
3- Las neurociencias y los ideales de la paideia griega.
1- El origen de la escritura.
PERRET, X. y Otros (1995); Hace mucho tiempo, en Sumer. En: El correo de la UNESCO, año XLVIII, número abril, pp.8-31. Dossier. Lectura on line:http://es.calameo.com/read/00314302646cb50c6571e
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2- El número de oro y la proporción áurea (Phi): orden, ritmo, simetría... Bien Verdad y Belleza.
¿Es posible pensar la relación entre la divinidad, la naturaleza y la razón humana?
Lo es en muchos sentidos, pero el hombre siempre busca evidencias.
Bueno, las evidencias son matemáticamente posibles.
Einstein sostenía que "Dios no juega a los dados." Veamos:
La "divina proporción" o número de oro conocido como número áureo o razón media
se representa con la letra griega phi (Φ,φ) es un número algebraico irracional (φ=1,61...) usado por los grieegos (Phi responde a Phidias - Fidias) y fue aplicado desde la antigüedad como proporción a la construcción y al arte.
Pero se ha descubierto que este número no sólo es propio del uso racional humano, en las figuras geométricas, y en la sucesión de Fibonacci (matemático del s. XIII).
Existe también como proporción en las formas de la naturaleza: nervaduras de las hojas de algunos árboles, caparazón de caracoles, las telas de araña, etc., incluso la estructura helicoidal del ADN.
Recientemente se han descubierto galaxias cuya forma repite el número de oro.
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| Las galaxias espiraladas cuya forma presenta el número de oro. |
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| El caparazón del molusco Nautilus presenta simetrías del número áureo. |
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| El centro del girasol presenta también el número áureo. Les ofrecemos dos vídeos breves con explicaciones acerca del número áureo. Y para los que quieran indagar aún más proponemos el artículo que se encuentra debajo de los vídeos. |
LA PROPORCIÓN ÁUREA
El número de oro
La proporción áurea es la relación existente entre los segmentos de una recta y el total de la misma, relación que se puede aplicar a todo tipo de figuras geométricas. La divina proporción o proporción áurea, expresada mediante el número de oro (Ф), se encuentra escondida en numerosos elementos de la naturaleza como las conchas de los moluscos, la ramificación de los árboles, la configuración de las hojas en los tallos de las plantas o las pipas de los girasoles e incluso la formación de las galaxias espirales.
Ya desde la antigüedad este fenómeno no pasó inadvertido y fue estudiado por los matemáticos, científicos y artistas más importantes de todas las épocas. Su pretensión no sólo era descubrir los secretos de esta proporción sino también aplicarla a sus propias creaciones para alcanzar así la belleza ideal, las obras más armónicas y perfectas que pudieran concebirse.
El número de oro fue un hallazgo de la Grecia clásica y el primer libro en donde aparece mencionado es Los elementos de Euclides (s.IV-III a.c.), libro fundamental para la geometría y las matemáticas en general ya que constituye una enciclopedia de los axiomas, principios y saberes de las matemáticas. Euclides habló de un punto que dividía una recta en dos segmentos, uno mayor y otro menor, de tal forma que este punto estuviese situado donde crease una misma proporción entre el segmento menor y el mayor y entre el mayor y el total de la línea, es decir, que “el todo es a la parte como la parte es al resto”. Euclides no le da un nombre, será Luca Pacioli quien lo llame “divina proporción” y, ya en el s.XX, Mark Barr propuso llamarlo phi (Ф) en honor al arquitecto griego Fidias, constructor del Partenón de Atenas.
Triángulo de Arquímedes
Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci (1170-1250) investigó la teoría de números e introdujo en Europa la numeración decimal arábiga en su obraLiber Abaci pero además, en esta obra, resolvió un problema que acabará por estar directamente relacionado con el número áureo. El problema es el siguiente: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? La solución es la famosa secuencia de Fibonacci en la que, empezando por el 1, cada término se obtiene de la suma de los dos anteriores. La relación más visible (porque hay muchas) que existe entre esta secuencia y el número áureo es que a medida que tendemos al infinito la división entre un término de la secuencia y el término inmediatamente anterior nos dará como resultado un número cada vez más cercano a Ф (1,618…).
Fue Luca Pacioli en 1498 quien escribió una obra que sintetizaba todo lo que se sabía sobre este número y esta proporción y lo aplicaba a los distintos cuerpos geométricos con la inestimable ayuda de las ilustraciones de Leonardo da Vinci. El resultado fue De divina proportione, publicada en 1509. Mediante una reflexión sobre la geometría inspirada en el Tractato de architectura de Vitruvio, Pacioli establece las proporciones que deben cumplirse para conseguir la belleza ideal con las demostraciones de los dibujos de Leonardo. Ahí se encuentran los dibujos de los sesenta poliedros y el famoso “hombre ideal” u “hombre de Vitrubio”, que tiene como base el número phi, relación existente entre el lado del cuadrado y el radio del círculo.
Tanto la obra de Pacioli como el Tratado de pintura de Leonardo o las obras de Leon Battista Alberti fueron claves en la unión de matemáticas, ciencias y artes. El testigo fue recogido por el alemán Alberto Durero en su obra De la medida en la que habló de la belleza ideal y de cómo construir figuras, cuerpos y curvas como la espiral de Arquímedes o la espiral basada en la sección áurea, conocida a partir de entonces como la espiral de Durero: <<La belleza consiste en la armonía de las artes entre sí y con el todo […] Lo mismo que cada parte en sí debe ser convenientemente dibujada, también su reunión debe crear una armonía de conjunto, […] porque a los elementos armoniosos se les tiene por
Rectángulos áureos y espiral de Durero aplicados a Mona Lisa
Ya en el siglo XX los artistas recobraron su interés por las matemáticas. Kandinsky en su obra De lo espiritual en el arte propuso la concepción matemática como base para la obra de arte, algo decisivo en su obra así como en la de Mondrian, Marcel Duchamp, Juan Gris, Salvador Dalí o los pintores abstractos.
Espiral logarítmica o espiral de Durero
Por otra parte la proporción áurea se halla presente durante toda la historia de la arquitectura, desde la pirámide de Keops hasta los edificios de Le Corbusier. En el caso de la pirámide la relación entre la base y la altura de la pirámide tiene correspondencia con el número Ф.
Siempre se ha considerado el Partenón de Atenas, obra de Fidias, como un ejemplo paradigmático de proporción áurea aplicada a la arquitectura pero las medidas precisas sobre el terreno no representan exactamente el número phi. Lo que sí está claro es que se acerca mucho al número de oro.
Las manifestaciones de esta proporción sí fueron totalmente conscientes en la arquitectura de la Edad Media y el Renacimiento como se puede observar, por ejemplo, en la fachada de la Universidad de Salamanca o en la catedral de Notre Dame en París, que describen rectángulos áureos exactos. También los rosetones de las catedrales e iglesias góticas siguen la estructura, en muchísimos casos, del pentágono áureo.
Y ya en la arquitectura del siglo XX encontramos el número de oro en las construcciones de muchísimos arquitectos que se beneficiaron de las numerosas posibilidades arquitectónicas que brindaban los nuevos materiales. Ejemplos son las obras de Zvi Hecker, Frank Lloyd Wright y, sobre todo, Le Corbusier que no sólo inventó el modulor, una nueva unidad de medida basada en la del cuerpo humano, sino que aplicó la razón áurea en muchísimas de sus creaciones, como por ejemplo el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York, que dispone de tres rectángulos áureos en su fachada.
El número de oro en la naturaleza
El número áureo es un descubrimiento del ser humano y sus aplicaciones en el arte una forma de crear, o intentar, crear belleza. Pero esta proporción no sólo es una creación humana, el estudio del hombre sobre phi se basa en el hecho de que está presente por todas partes en la naturaleza. Cuando se acercan a un punto de luz los insectos trazan una espiral logarítmica, una espiral áurea que siempre es la misma porque es la única en la que siempre conservan el mismo ángulo de giro, la misma espiral que dibujan las aves de presa cuando se lanzan a cazar, la única con la que pueden mantener la cabeza recta manteniendo siempre el control visual sobre las presas y maximizando la velocidad.
El número phi se halla en el mismo cuerpo humano del cual, si tuviésemos que extraer una medida ideal, lo haríamos calculando la media entre todos los cuerpos medidos. Pues bien, diversos estudios estadísticos demuestran que la media en la medida de la altura total de un cuerpo humano y la distancia desde el suelo al ombligo revelan esta proporción: si asignamos el valor 1 a la distancia del pie al ombligo la altura total del cuerpo sería de 1,618.
En la Edad Media, para la construcción de los templos, los constructores empleaban instrumentos de medida basados en las medidas humanas. Las medidas que utilizaban eran la palma[1], la cuarta, el palmo, el pie y el codo, todas ellas múltiplos de una unidad llamada línea (2.247 milímetros). Si expresamos todas estas medidas en líneas obtendremos términos de la sucesión de Fibonacci, es decir, la relación entre cada uno de estas medidas y la anterior es Ф, relación existente en el cuerpo humano.
La proporción áurea está muy presente en el mundo vegetal. La filotaxis estudia la disposición de las hojas de una planta sobre el tallo. Esta disposición nunca es arbitraria, sigue siempre un orden y unos patrones determinados para que la planta aproveche al máximo el oxígeno, la luz y las sales minerales.
Da Vinci se dio cuenta de que las hojas se colocaban siguiendo espirales a lo largo del tallo en grupos de cinco. Pero además, las ramificaciones de muchos árboles siguen la secuencia de Fibonacci. Incluso, todas las flores tienen un número de pétalos que siempre es un término de esta sucesión, baste con observar una margarita o un diente de león. Si observamos la flor de un girasol la disposición de las semillas en su centro configura espirales áureas y cada una de estas espirales estará formada por un número de la sucesión de Fibonacci, exactamente lo mismo que sucede en las alcachofas, las piñas o la disposición de los pétalos de una rosa. Y más, si asignamos el valor 1 a la anchura de una piña, la longitud será Ф, exactamente lo mismo sucederá, por ejemplo, con las hojas de las higueras y los olmos de montaña o las mismas alcachofas.
Encontramos una explicación no sólo matemática sino también coherente y lógica a este fenómeno. Consiste en crecer conservando la forma, la espiral logarítmica es la única que se va ensanchado a medida que gira conservando siempre el mismo ángulo y la misma forma. Sólo con la proporción áurea es como los seres vivos pueden crecer manteniendo las mismas proporciones, por eso la espiral áurea es la que da forma a los caracoles, cuyo ejemplo paradigmático sería el nautilus que sobre cada parte de la concha añade cámaras de mayor tamaño pero exactamente iguales. Hay otras geometrías áureas representadas en los animales. Por ejemplo las estrellas de mar son pentágonos áureos.
Nautilus
Por otra parte, y en una dimensión distinta, los movimientos de turbulencia con una velocidad de expansión creciente como pueden ser los remolinos de un río o del agua que vemos caer por el desagüe siguen también la línea de la espiral áurea. La misma espiral que traza un gusano al enrollarse, la misma espiral que siguen las galaxias espirales.
Galaxias espirales
Una nueva disciplina como son las matemáticas de fractales muestra que aún hoy el número phi resulta fundamental para comprender y analizar determinados fenómenos en los que la naturaleza crece conservando la forma, como sucede con muchos árboles y con estructuras tan hermosas como el brócoli romanesco que podemos comprar en el supermercado.
Brócoli romanesco
Todo esto no hace más que enseñarnos que phi es el número irracional más importante de la historia junto a pi, que la naturaleza lo emplea continuamente desde los objetos más pequeños hasta las galaxias (hoy día se está estudiando la curiosa relación que ya se ha descubierto entre Ф y los agujeros negros) y que el ser humano ha sabido identificarlo y crear con él ideales de belleza basados en el mundo físico y aplicándolos a las más excelsas obras de arte.
Y el viaje de uno de los números más antiguos de la historia, realmente, no ha hecho más que comenzar. Desde el dedo índice hasta el ombligo y la coronilla, desde el desagüe de la bañera hasta las galaxias espirales, son sólo pequeñas partes de su camino, del cual aún está todo por descubrir.
[1] Cuarta: Distancia entre las puntas del dedo índice y el meñique con la mano abierta.
Palma: Distancia entre los lados de la palma de la mano.
Palmo: Distancia entre las puntas del dedo pulgar y el meñique con la mano abierta.
Codo: Distancia entre el codo y la punta del dedo anular con la mano abierta.
También pueden consultarse si el tema resultó de su interés:
http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html (en inglés)
3- LAS NEUROCIENCIAS Y LOS IDEALES DE LA PAIDEIA GRIEGA.La paideia estaba sostenida sobre tres valores fundamentales: el bien, la verdad y la belleza. Estos tres ideales se plasmaban en el arte y en la vida cotidiana. ¿Por qué lo bello es bueno y verdadero nos impacta aún hoy? Lean este artículo.
La Nación Sábado 23 de marzo de 2013 | Publicado en edición impresa
La Nación Sábado 23 de marzo de 2013 | Publicado en edición impresa
Estudios culturales
¿Cuál es la razón por la que adoramos las cosas bellas?
A partir de diversas pruebas, las neurociencias empiezan a descubrir qué efecto tienen los buenos diseños en el cerebro de las personas
NUEVA YORK.- Como dijo una vez el experto en administración Garet Hamel, el buen diseño se ajusta a la famosa definición que dio Justice Potter Stewart de la pornografía: uno lo reconoce cuando lo ve. Y también cuando desea apropiárselo: ciertos estudios de imágenes del cerebro revelan que cuando vemos un producto atractivo puede activarse una parte que gobierna el movimiento de la mano. Instintivamente, la extendemos para alcanzar las cosas que nos atraen. La belleza, literalmente, nos atrae. Sin embargo, no se sabe bien por qué, dice Hamel.
Ahora, eso está empezando a cambiar. Ya está en marcha una verdadera revolución en la ciencia del diseño, y la mayoría de la gente, incluidos los diseñadores, ni siquiera lo sabe.
Por ejemplo, el color. El año último, investigadores alemanes descubrieron que con ver ciertos tonos de verde alcanza para que se disparen la creatividad y la motivación. Es fácil adivinar por qué: asociamos el verde con la vegetación que produce alimentos, con la promesa que eso implica.
Según muestran esos estudios, en parte eso podría explicar por qué una habitación con vista al paisaje puede acelerar la recuperación de los pacientes en los hospitales, fomentar el aprendizaje en las aulas y alentar la productividad en los lugares de trabajo. Estudios realizados en call-centers han demostrado que los empleados que podían ver por la ventana realizan sus tareas con un 6 o 7 por ciento más de eficiencia que aquellos que no tienen una ventana cerca, lo que genera un ahorro anual de cerca de 3000 dólares por empleado.
En algunos casos puede producirse el mismo efecto con un mural fotográfico o incluso pintado, aunque no se parezca a una imagen real. Las corporaciones invierten grandes cantidades de dinero para entender lo que motiva a sus empleados, y resulta ser que un poco de color o un mural pueden lograrlo.
La geometría simple también está conduciendo a revelaciones similares. Durante más de 2000 años, filósofos, matemáticos y artistas se han maravillado de las propiedades únicas del rectángulo dorado: si a un rectángulo dorado se le sustrae un cuadrado, lo que queda es otro rectángulo dorado, y así sucesivamente hasta el infinito.
Las así llamadas proporciones mágicas (alrededor de 5 por 8) son frecuentes en el formato de libros, estudios de televisión y tarjetas de crédito, y son la estructura que subyace en algunos de los diseños más venerados de la historia: las fachadas del Partenón y Notre Dame, el rostro de la Mona Lisa, el violín Stradivarius y el iPod original.
Hay experimentos que se remontan al siglo XIX que demuestran que las personas prefieren imágenes con esas proporciones, pero ninguno demostró por qué.
Luego, en 2009, un profesor de la Universidad de Duke probó que nuestros ojos escanean más rápidamente una imagen cuando tiene la forma de un rectángulo dorado. Es la disposición ideal, por ejemplo, de un párrafo de texto, la que más ayuda a la lectura y la retención. Esa simple forma acelera nuestra capacidad de percibir el mundo, y sin darnos cuenta, la utilizamos siempre que podemos.
Algunos patrones también tienen ese atractivo universal. Los fractales naturales -geometría irregular autorreplicante- están presentes prácticamente en toda la naturaleza, desde las líneas costeras y el curso de los ríos hasta los copos de nieve y las nervaduras de las hojas, e incluso en nuestros pulmones. En los últimos años, los físicos han descubierto que la gente prefiere invariablemente una determinada densidad matemática de fractales: ni demasiado densa ni demasiado dispersa.
Según esa teoría, ese patrón en particular es un eco de la forma de los árboles, y más específicamente de la acacia de la sabana africana, que está albergada en la memoria humana como cuna de la raza humana. Parafraseando a un biólogo, la belleza está en los genes del que mira, y nuestro hogar está donde nació el genoma.
En 1949, la revista Life nombró a James Pollock como "el más grande pintor vivo de Estados Unidos", cuando el artista estaba creando esos cuadros que hoy sabemos que contienen una densidad fractal óptima (alrededor de 1,3 en una escala de 1 a 2 que va de vacío a sólido).
Nuestra respuesta a ese patrón geométrico es tan rotunda que hasta puede reducir los niveles de estrés hasta un 60 por ciento, por el simple hecho de estar presente dentro de nuestro campo de visión. Un investigador calculó que ya que los estadounidenses gastan 300.000 millones de dólares el año en enfermedades relacionadas con el estrés, los beneficios económicos de estas formas, si se aplicaran generalizadamente, podrían ser billonarios.
No debería sorprendernos que el buen diseño tenga efectos tan contundentes. Después de todo, el mal diseño produce los efectos inversos: las computadoras mal diseñadas pueden lastimarnos las muñecas, las sillas de formas extrañas pueden dañarnos la espalda y la luz demasiado intensa puede cansarnos los ojos.
Pensamos en el gran diseño como un arte, no una ciencia. Como si fuera un misterioso regalo de los dioses. Pero si los diseñadores supieran más de la matemática de la atracción, la mecánica del afecto, todos los objetos diseñados -desde las casas hasta los celulares, pasando por las oficinas y los autos- podrían ser lindos y a la vez beneficiosos..
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